「球1個から2個作れる」海外の数学掲示板で集合論めぐる論争
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海外の数学掲示板4chan「/sci/」で、球を1つから2つに"複製"できてしまうという、いわゆるバナッハ=タルスキーの逆理を巡るスレが伸びていた。これは選択公理を認めた集合論のもとで成り立つ数学の有名な奇妙な帰結で、実際に手を動かして再現できる操作ではない。スレでは、この結果を「集合論はおかしな結論を生む欠陥理論だ」とみる立場と、「物理的な質量の話ではなく点の個数の話にすぎず驚くことではない」とみる立場がぶつかり、選択公理の是非や、数学は現実を写し取るものかそれとも現実を超えるものかという、数学の哲学的な対立にまで話が広がった。
「1個の球から2個の球が作れる」ってバナッハ=タルスキーのアレ、これでZFCがおかしいって論理厨たちは納得しないの?矛盾が出ないからって、その公理系がゴミを生み出さないとは限らないだろ。
低能どもは何をそんなにキレてるんだ?非可算無限個の点があれば架空の物体はいくらでも作れる。なんで1個で止める必要がある?
選択公理を無くした場合の弊害の方がむしろヤバいと思う。
『それはバグだ』と念じるんだよ。(画像)
で?外測度はR全体で可算加法性を持たないだろ。あの結果はただ、ルベーグ測度がR^3全体では可算加法的でないことを大げさに示してるだけ。何が驚きなんだ?
驚くのは、質量って直感的には『量』の指標だと思われてるからだよ。質量は保存されるもので、複製できるものじゃない。
『質量』って、坊や、これは数学の話だ。物理じゃない。
『質量だから驚く』って言うけどさ……そもそも体積ゼロの点が非可算無限個集まってできた、無限に薄い殻でしかない純粋に抽象的な球の『質量』って何なんだ?
同意。(画像)
いい指摘。3次元なら全く驚くことじゃないはずだ。R^2と比べたR^3の『空間の広さ』にはいつも驚かされる。酔っ払って千鳥足で歩いてるやつがR^3だと二度と戻ってこられないって話、あれどこに行っちゃうんだろうな。
(画像)
『完全な球形のホットドッグを仮定する』
『こいつも一応数学を学んだらしい』―― 落第はしたけどな。
『数学こそが実在で、現実の方が実在しない』 数学の学位を取るとこうなるのか。
現実が実在しないってわけじゃない、現実は明らかに実在する。ただ現実は数学の有限な部分集合にすぎないってだけだ。
『数学は現実の集合を内包し、それ以上のものを持つ』 いや笑うわ。
内包してるとは思わない。数学はこの世界を完璧な(プラトン的な)形で再現できる、いい枠組みだと思ってる。例えば厳密に正確な長さを持つ物理的な物体は絶対に作れない(その長さが有理数だろうと無理数だろうと)。でも数直線上でならそれを描いたり操作したりできる。
そりゃそうだろ!
『質量は保存される』―― 今のところ分かってる範囲ではな。
『どちらの選択肢もナンセンス』―― あまり説得力ないな。選択公理を否定する立場が選択公理側もカバーできるなら、内外問わず選択公理にまつわる問題全てに対応しうる公理を用意できる可能性が一番高いわけで、一番筋が通ってると思う。
……『ゼロ』だと答えるなら、それはそれで質量は確かに保存されてることになるな。
とはいえ、長さを持つあらゆる物体は、その与えられた長さぴったりではあるんだよな。
『半径1の球と半径2の球は、選択公理があってもなくても集合論的には点の個数が全く同じ』『実数というのは根本的にそういうものだ』 これな。あと、ユークリッド空間はそういう対象を表現するのに優れた枠組みだよ。
『ユークリッド空間はそれを表現するのに優れた枠組み』 ワロタ。単位長さを1つください。『方向のご希望は?』お任せで。『ほう、1のべき根党か、お好きな回転をどうぞ』 17個のうち13番目のやつが一番好きだ。
『ユークリッド空間は優れた枠組み』 実際は違うけど、そうあるべきなんだよ。それがこのスレの論点そのものだろ。
ありがとう、助かった。おかげで新しい読書リストができて、また沼にハマれそうだ!
完璧。(画像)
お前、ボレル集合やルベーグ測度が何なのか分かってないだろ。この話をする知識が備わってない。『うわ、ミクロスケールの世界が、ニュートン力学のスケールで生きてきた自分の直感にしっくりこない。じゃあ世界の方が間違ってるに違いない』ってか。
『世界は俺のでっち上げた数学の戯言通りにはなってない』 ああ、知ってるよ。
『ボレル集合やルベーグ測度が何なのか分かってないだろ』 それを使った計算なんて数え切れないほどやってきたよ。でもそんなことは議論と全く関係ない。お前は問題の本質を全然分かってない。これはもっと深刻な話で、明らかな矛盾を生む以上、集合論そのものを反証すべき話なんだ。
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うわ……これはすごいな。ちゃんと理解できた。時間をかけて書いてくれてありがとう。
どういたしまして。
お前はいいやつだよ、名無し。時々そうじゃないフリをしてるけどな。
ありがとう、名無し。この板の今の状態にかなり幻滅してるから人に厳しく当たっちゃうこともあるけど、自分の知ってることを共有できるのは嬉しいよ。
何がゴミなんだよ。それはダークエネルギーの最有力候補理論なんだが。
宇宙とは究極の『1個買ったらもう1個無料』のランチみたいなもんだな。
『算術命題でない数学的主張(コンピュータプログラムの挙動に関する主張は全部これに当たる)には、物理的に検証可能な内容が無い』 それ、証明は?
最大の素数を見つけて、自然数を全部素因数分解し終えて、そのゲーデル数を元の数学的命題に戻し終えたら、そのとき証明してくれるだろうよ。
『算術命題』の定義としては、全ての量化子がV_ω(遺伝的有限集合の全体)によって有界であるような命題、と考えればいい。整数や有限リストなどはすべてここに符号化できる。
この話題の背景と論点
この定理はバナッハ=タルスキーの逆理と呼ばれ、選択公理を認めた集合論のもとで1924年に示された。球面上の点を、通常の意味では体積を定義できない非可算な集合に並べ替えることで成立するもので、原子でできた現実の物体を実際に切り分けて増やせるわけではない。あくまで抽象的な「点の集合」としての性質を示す結果である。スレでは、この結論を「矛盾こそ生まないが直感に反する"slop"を生む欠陥」とみる立場と、「質量ではなく点の個数の話にすぎず驚くことではない」とみる立場が対立した。選択公理を放棄すべきかという話や、数学は現実を完璧に写し取るプラトン的な枠組みなのか、それとも現実を超えた領域まで持つのかという、数学の哲学に関わる論争にまで発展している点が読みどころ。
※本記事は海外掲示板 4chan /sci/ (Science & Math) のスレッド「>you can make two sphere from one sphere」から抜粋し、編集部で日本語に意訳したものです。訳文の責任は当サイトにあります。
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