「無理数は存在しない」√2の証明巡り海外で論争
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海外掲示板4chanの理系板/sci/で、ある投稿者が√2が無理数であることを幾何学的なイメージで証明しようとしたところ、その手法の妥当性を巡って議論が始まった。有理数と無理数の比較可能性という古代ギリシャ由来の考え方から、黄金比や体の拡大といった話題にも発展する一方、「無理数はそもそも存在するのか」というプラトン主義的な問いも飛び出した。さらに現実の空間でレーザー光がつくる三角形の内角の和が180度にならないという指摘まで出て、純粋数学の証明の話が物理学の話まで広がる展開になった。
定義：2つの量が「通約可能」であるとは、それぞれの長さを余りなく比較できることをいう。補題：ある正の整数の2乗が偶数ならば、その整数自身も偶数である。ここで√2が、公約数を持たない2つの正の整数の長さ（これを「長さ1」「長さ2」と呼ぶ）の比として表せる、つまり通約可能であると仮定する。
>>1
「余りなく比較」って何だそれ
意味不明
「余りなく比較」って何だそれ
意味不明
>>2
イメージできないのか？
イメージできないのか？
>>3
「イメージ」って、お前の想像力は形式的な証明にはならないぞ
「イメージ」って、お前の想像力は形式的な証明にはならないぞ
>>4
ギリシャ人は全部それ（幾何学的なイメージ）だけで数学をやってたけどな
ギリシャ人は全部それ（幾何学的なイメージ）だけで数学をやってたけどな
>>6
失礼、正しくはこう書くべきだった
[数式]
x ～ y ⟺ ある正の整数a,bが存在して xa = yb
[/数式]
これは次と厳密に同値になる
[数式]
x ～ y ⟺ x/y は有理数
[/数式]
さて、証明に入ろう。
失礼、正しくはこう書くべきだった
[数式]
x ～ y ⟺ ある正の整数a,bが存在して xa = yb
[/数式]
これは次と厳密に同値になる
[数式]
x ～ y ⟺ x/y は有理数
[/数式]
さて、証明に入ろう。
>>1
黄金比φ=(1+√5)/2が無理数であることを示すのにも似た議論を使ったことがある。結局は√5が無理数であることを示す話に帰着する。黄金比についての発表でそれをやった。
黄金比φ=(1+√5)/2が無理数であることを示すのにも似た議論を使ったことがある。結局は√5が無理数であることを示す話に帰着する。黄金比についての発表でそれをやった。
>>6 >>9 >>10
なるほど、ありがとう。この証明を幾何学のイメージで理解する手助けがしたかっただけなんだ。ありがとう。
なるほど、ありがとう。この証明を幾何学のイメージで理解する手助けがしたかっただけなんだ。ありがとう。
>>11
興味があるか分からないけど余談として、もう一つ幾何学とのつながりを挙げると「a+b√2（a,bは有理数）」という形の数の集合は、有理数体の2次元拡大体になっている（こういう拡大体は他にもたくさんある）。この手の空間で作業するのはなかなか面白い練習になる。自然な内積や距離の測り方が普通の実数の場合とは違うからね。
興味があるか分からないけど余談として、もう一つ幾何学とのつながりを挙げると「a+b√2（a,bは有理数）」という形の数の集合は、有理数体の2次元拡大体になっている（こういう拡大体は他にもたくさんある）。この手の空間で作業するのはなかなか面白い練習になる。自然な内積や距離の測り方が普通の実数の場合とは違うからね。
「存在証明」ね、はは、なるほど。ちなみに無理数なんて存在しないぞ。ピタゴラスの薬を飲め。
>>12
「無理数は存在しない」というのは、有理数の中には存在しない、という意味ならその通りだ。「ピタゴラスの薬を飲め」というのは、つまり有理数だけを使って幾何学を捨てろということか？
「無理数は存在しない」というのは、有理数の中には存在しない、という意味ならその通りだ。「ピタゴラスの薬を飲め」というのは、つまり有理数だけを使って幾何学を捨てろということか？
>>18
「すべては点でできている」「でも体積は存在する」
これのどこがプラトン主義じゃないんだ？
「すべては点でできている」「でも体積は存在する」
これのどこがプラトン主義じゃないんだ？
>>21
「数は幾何学そのものであり、幾何学こそが世界だ」というが、どの幾何学の話をしているんだ？現実にある一番まっすぐな線、つまりレーザー光を十分な距離飛ばして「三角形」を作ると、周りに十分な質量があれば角度の合計はきれいな180度にはならないぞ。
「数は幾何学そのものであり、幾何学こそが世界だ」というが、どの幾何学の話をしているんだ？現実にある一番まっすぐな線、つまりレーザー光を十分な距離飛ばして「三角形」を作ると、周りに十分な質量があれば角度の合計はきれいな180度にはならないぞ。
>>22
ユークリッド幾何学には物理的実在の基本原理が含まれている。それより高次の幾何学は、抽象であるか、そこから派生したものにすぎない。
ユークリッド幾何学には物理的実在の基本原理が含まれている。それより高次の幾何学は、抽象であるか、そこから派生したものにすぎない。
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>>25
『ピタゴラスに従う者なんてこの2500年誰もいない』と言うくせに、なんでお前は彼の画像を貼ったんだ？
『ピタゴラスに従う者なんてこの2500年誰もいない』と言うくせに、なんでお前は彼の画像を貼ったんだ？
>>34
「/his/と打つつもりが/sci/と打っていた」
やらかしたな
「/his/と打つつもりが/sci/と打っていた」
やらかしたな
>>21
『なぜ他の値ではなくこの値なのか』という問いは常につきまとう。この時点で経験的な説明では対応できなくなる。経験的な説明が言えるのは、ある数値が『こうである』こと、せいぜい『こうだった』ことまでだからだ。お前の主張は何なんだ？世俗的でありながら何でも許容する、というのは無理があるんじゃないか？
『なぜ他の値ではなくこの値なのか』という問いは常につきまとう。この時点で経験的な説明では対応できなくなる。経験的な説明が言えるのは、ある数値が『こうである』こと、せいぜい『こうだった』ことまでだからだ。お前の主張は何なんだ？世俗的でありながら何でも許容する、というのは無理があるんじゃないか？
>>37
（お前にレスした本人じゃないが）言いたいことは分かる。ただ現代的な記法を使わずに進めようとすると、本当はほんの数行で済むエレガントな証明なのに、追うのがかなりしんどい作業になるのは認めるべきだと思うぞ
（お前にレスした本人じゃないが）言いたいことは分かる。ただ現代的な記法を使わずに進めようとすると、本当はほんの数行で済むエレガントな証明なのに、追うのがかなりしんどい作業になるのは認めるべきだと思うぞ
このスレ、キャラの濃いやつがそろってるな（笑）
この話題の背景と論点
古代ギリシャでは、あらゆる量は整数の比（有理数）で表せるとピタゴラス学派が信じていたとされ、√2が無理数であると発見されたことはその世界観を揺るがす大事件だったと伝えられる。スレで話題になった証明は、この伝統に連なる背理法（平方数の偶奇に着目する方法）を幾何学的なイメージで説明しようとしたもので、「イメージで理解できれば十分か」「形式的な証明として成立するか」という数学の哲学的な対立点が改めて浮き彫りになった。あわせて、数学的対象が人間の認識とは独立に実在すると考える立場（プラトン主義）と、記号操作の体系にすぎないとする立場の対立も背景にある。レーザー光でつくる三角形の内角の和が180度にならないという指摘は、一般相対性理論で質量が空間を歪めるために起きる現象を指しており、ユークリッド幾何学が現実の空間をあくまで近似的にしか記述できないことを示す例として挙げられている。
※本記事は海外掲示板 4chan /sci/ (Science & Math) のスレッド「Hi. Is this correct?」から抜粋し、編集部で日本語に意訳したものです。訳文の責任は当サイトにあります。
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